Hippazos z Metapontu – człowiek, który znalazł liczbę, jakiej nie powinno być
Są odkrycia, po których nauka idzie krok dalej, i są takie, po których trzeba na chwilę usiąść, bo właśnie rozsypał się kawałek świata. Z Hippazosem z Metapontu, greckim filozofem i matematykiem żyjącym prawdopodobnie w V wieku p.n.e., właśnie tak było. Należał do kręgu pitagorejczyków, ludzi przekonanych, że rzeczywistość ma strukturę liczbową, a harmonia świata daje się opisywać proporcjami liczb całkowitych. Brzmiało pięknie, niemal religijnie: kosmos nie był chaosem, lecz muzyką zapisaną matematycznie. I wtedy pojawił się problem tak niewinnie wyglądający, że trudno podejrzewać go o filozoficzny zamach stanu – przekątna kwadratu.
Kwadrat o boku jeden i katastrofa wielkości √2
Weźmy kwadrat o boku długości 1. Z twierdzenia, które dziś nazywamy twierdzeniem Pitagorasa, wynika, że jego przekątna ma długość √2. Tyle że √2 nie da się przedstawić jako stosunku dwóch liczb całkowitych. Można zapisywać 1,4142135… właściwie bez końca, lecz nigdy nie otrzymamy zwykłego ułamka, który dokładnie tę wartość odda.
Dla nas? Żaden dramat. Kalkulator podaje √2 i można spokojnie pić kawę dalej. Dla wczesnej tradycji pitagorejskiej był to jednak problem znacznie poważniejszy, ponieważ istniały wielkości, których nie dało się wyrazić wspólną miarą liczbową. Dzisiejsze liczby niewymierne były wówczas przede wszystkim problemem niewspółmierności odcinków. Co ważne, późniejsza tradycja często przypisywała Hippazosowi odkrycie tej niewspółmierności, ale źródła starożytne nie pozwalają nam powiedzieć z pewnością: „to właśnie on odkrył √2”. Współcześni historycy matematyki pozostawiają tę kwestię otwartą.
I właśnie tutaj historia zaczyna pachnieć legendą.
Czy naprawdę utopiono go za matematykę?
Popularna wersja jest niemal zbyt dobra, żeby jej nie opowiadać. Hippazos miał ujawnić światu tajemnicę niewymierności, choć wiedza pitagorejska była przeznaczona dla wtajemniczonych. Za zdradę został więc wyrzucony za burtę albo – w bardziej metafizycznej wersji – bogowie sami ukarali go śmiercią na morzu.
Tyle że historyk musi tu zepsuć trochę zabawę. Nie mamy wiarygodnego źródła potwierdzającego, że Hippazos został zamordowany za odkrycie liczb niewymiernych. Plutarch wspomina później o zgorszeniu wywołanym ujawnieniem wiedzy o niewspółmierności, natomiast Pappos dopiero wiele stuleci później łączy ujawnienie tej wiedzy z utonięciem. Jamblich zna z kolei historię o Hippazosie, który miał ponieść karę za upublicznienie wiedzy dotyczącej dwunastościanu foremnego. Późniejsza tradycja połączyła te opowieści w jedną efektowną historię. Efekt jest świetny literacko, ale jako dokument historyczny wymaga dużej ostrożności.
I może właśnie ta niepewność czyni Hippazosa jeszcze ciekawszym. Nie wiemy nawet, czy rzeczywiście zginął za matematykę, ale przez dwa tysiące lat ludzie uznawali taką śmierć za całkowicie wiarygodną. To sporo mówi o reputacji pitagorejskiej szkoły jako wspólnoty, w której matematyka nie była tylko rachunkiem – była częścią obrazu świata.
Nie tylko √2 – eksperyment, muzyka i ogień
Hippazos był zresztą czymś więcej niż bohaterem jednej matematycznej legendy. Arystoteles łączył go z Heraklitem i poglądem, że podstawową zasadą rzeczywistości jest ogień. Jeszcze ciekawsza jest jego działalność związana z muzyką. Według tradycji badał zależności między wysokością dźwięku a proporcjami liczbowymi i eksperymentował z metalowymi krążkami o jednakowej średnicy, lecz różnej grubości. W odpowiednich proporcjach dawały dźwięki odpowiadające podstawowym interwałom muzycznym.
Jeżeli przekaz jest poprawny, mamy przed sobą coś niezwykle nowoczesnego: człowieka, który nie tylko spekulował, lecz sprawdzał matematyczną prawidłowość poprzez eksperyment fizyczny. Stanford Encyclopedia of Philosophy zauważa nawet, że mógł to być jeden z najwcześniejszych znanych przykładów doświadczenia pokazującego, iż prawo przyrody można wyrazić matematycznie.
I nagle postać, którą kultura popularna sprowadziła do człowieka wrzuconego do morza za √2, okazuje się znacznie bardziej interesująca.
Dlaczego warto o nim pamiętać?
Historia Hippazosa pokazuje coś znacznie ciekawszego niż konflikt matematyka z tajemniczym bractwem. Pokazuje moment, w którym rzeczywistość okazała się bogatsza od teorii stworzonej do jej wyjaśnienia. Można próbować ratować teorię, można obrazić się na wynik albo – i to właśnie robi nauka w swoich najlepszych chwilach – uznać, że skoro fakt nie pasuje do systemu, trzeba zmienić system.
Nie wiemy, czy Hippazos naprawdę pierwszy odkrył niewspółmierność i prawdopodobnie nigdy się tego nie dowiemy. Wiemy jednak, że jego imię zostało z tym przełomem związane na ponad dwa tysiące lat. √2 okazało się niewielką liczbą z ogromnymi konsekwencjami: przypomniało ludziom, że matematyka nie ma obowiązku być tak uporządkowana, jak chcieliby jej filozofowie.
A to już jest lekcja zdecydowanie większa niż przekątna jednego kwadratu.
Ciekawostki
- Nie zachowało się żadne dzieło Hippazosa, a późna tradycja twierdzi nawet, że niczego nie napisał.
- Należał do najważniejszych postaci wczesnego pitagoreizmu, choć jego dokładna relacja z samym Pitagorasem pozostaje niejasna.
- Łączono go z badaniami muzycznych proporcji liczbowych i eksperymentami z metalowymi krążkami.
- Starożytne przekazy wiążą go również z badaniem dwunastościanu foremnego, a ujawnienie tej wiedzy pojawia się w jednej z wersji legendy o jego śmierci.
- Renesansowe i późniejsze portrety Hippazosa są wyobrażeniami artystów – nie znamy jego autentycznego wizerunku. Znany sztych Girolama Olgiatiego pochodzi dopiero z 1580 roku.
Józef Michałek – Radio awangarda
